超几何分布的期望趣百科

超几何分布的期望为np/N，其中n是样本大小，p是所选固定数量项目的总体概率，N是总体中固定数量项目的数量。

这个期望公式的背后原因其实很简单：超几何分布最大的特点就是不放回地从有限总体中抽取样本。这种抽样方式与放回抽样有着本质区别，因此其期望也与二项分布（其中采用放回抽样）的期望截然不同。

实际上，超几何分布期望的计算思路可以借鉴二项分布期望的推导过程。回忆一下二项分布期望的公式：np。这个公式反映了两个事实：（1）随机试验重复进行n次，（2）每次试验成功的概率为p，那么最终成功的次数的期望是多少。显然，这个期望值由n和p共同决定，且随着p的增加而单调递增。

超几何分布期望的计算也可以通过类似的思路推导出来。对于超几何分布而言，我们同样是不断进行试验，只不过每次试验选取的对象都不同，不存在放回抽样的问题。我们需要考虑的问题是：在总体中选择符合要求的项目的概率，以及在进行n次试验后，所选出的项目有多少符合要求的。

具体而言，我们先考虑所选的n个项目中，有k个符合要求的可能性。这种可能性可以通过计算总体中符合要求的项目数与总体中项目数的比值，再与总体中不符合要求项目数与总体中项目数的比值相乘得到。即，如果总体有N个项目，其中有M个符合条件，那么选取n个项目且其中k个符合条件的概率可以表示为

C(M,k) * C(N-M,n-k) / C(N,n)

其中，C(n,k)表示从n个项目中选取k个的组合数。公式中的前一项是选出k个符合要求的项目的可能性，后一项是从不符合要求的项目中选取n-k个的可能性。两者乘积除以总体选取n个项目的可能性就是所求的条件概率。

有了这个概率，我们就可以计算n次试验中，选取符合条件的项目的期望数量了。具体而言，期望值等于每个可能结果的概率乘以对应的结果（即符合条件的项目数），然后所有可能结果的期望值相加即可。即

E(X) = Σ k=0^n p(k) * k

其中，p(k)是于前面所述的条件概率。在计算中，我们可以借助递推公式快速计算组合数，以减少计算负担。

至此，我们就得到了超几何分布的期望公式。由公式可以看出，期望值受到三个因素的影响：样本大小、符合要求的项目比例和总体中符合要求的项目数量。这三者的影响越大，期望值也就越大。由于超几何分布局限于特定的抽样形式，因此该分布相对于其他分布，在实际应用中的范围会受到一定限制。