美国高考数学题（大家热议的美国数学高考题）

美国高考数学题(美国高考数学题)

在信息资源网之前，我给今日头条发了以下美国数学高考题，没想到得到了25万的演示，858条留言。前几天我在《指出张东升在《隐藏的角落》中画错的心线》一文中也谈到了这个问题，结果也引起了很多人对信息资源网的讨论。现在，该解释一下这个问题了。

问题是这样的:

小圆半径为大圆半径的1/3，大圆固定，小圆绕大圆滚动，回到原来的位置。小圆圈自己转了几圈？

这个问题的正确答案是4圈。为什么30万人中只有3人答对了？原因是选项中没有出现正确答案。提问者真的把大家都忽悠了。这个问题其实也叫“硬币悖论”，即结果与人的直觉相反。

对于这个问题，很多人认为答案应该是三倍，因为大圆的周长是小圆的三倍。给出4圈的正确答案有各种解释。下面我会一一解释一些主要答案。

1.旋转和公转理论

小圆旋转3次，绕大圆旋转1次，共4次。

这个答案是最有欺骗性的一个。听起来很有道理，4圈的答案也对，也能赶上地球自转公转的理论。好吧，大家都这么说，那我就假装懂了。回答四圈的人超过一半，估计是这么想的，但根本没有深入思考。

真的是这样吗？我们来看看这个问题是关于什么的。

问题是圆转了多少圈，也就是圆绕其中心转了多少圈，这就是转动的概念。如果你说你旋转三次，答案应该是三次。公转是小圆绕着大圆的圆心转，与自转无关。其实小圆即使不旋转，也可以绕着大圆的圆心旋转。在这个问题中，小圆确实绕大圆转了一圈，但与小圆转了几次无关。因为小圆转了四圈。也就是说，小圆转了四圈，公转了一圈。

2.中心轨迹法

小圆的圆心轨迹也是半径为4r的圆，所以行进的长度是8r。圆每转一圈都经过2r，所以转了四圈。

如果一个小圆在平地上滚动，它确实每隔2r绕圆心转一圈。

但在绕大圆滚动的问题中，首先要证明圆心走过了2r的长度，小圆绕圆心转了360°这个结论。也就是说，如下图所示，小圆心已经走了2r的距离，刚好经过小圆心所在圆周的1/4。为什么小圆只是绕着自己的中心转？没有证明过程，直接搬取平地的结论是不严谨的。

还有人说小圆上各点的长度等于小圆的心的长度，所以是这样的。这个结论是错误的。我们以后再谈。

3.粒子法

质点法类似于圆轨迹法。即把小圆看成一个质点，这样小圆的轨迹就是一个半径为4r的圆，质点一共走了8r的长度，每2r绕圆心转一圈，所以转了四圈。这种方法首先需要明白什么是质点，其次和圆心轨迹法一样，也需要证明之前的一个小结论。

4.相对运动法

如果小圆和大圆各自固定圆心，像齿轮一样同时旋转，那么小圆顺时针旋转3圈，大圆逆时针旋转1圈，小圆相对大圆旋转4圈。现在大圈是固定的，小圈需要相对大圈转四圈。这个解释还可以，但是相对运动对于大多数人(尤其是孩子)来说还是太抽象了。

那么，有没有更直观的解释呢？下面我给出的方法，纯粹是从数学几何关系上解释的，应该是学过角和周长的高年级小学生都懂的。

5.纯几何方法

这个问题中有一点是肯定的，那就是小圆的周长是大圆的1/3。小圆在大圆上滚过2r的长度，也就是大圆周长的1/3，到达下图所示的位置。此时，小圆绕其中心转动360°+120° = 480°。小圆对着大圆滚轮6r的长度刚好滚回原点，此时转4803=1440。140360 = 4圈。

6.心脏线的长度

刚才说了，第二种方法，有人认为小圆上任意一点的长度与圆心的长度相同。真的是这样吗？

我们来看一个类似但更简单的心线，即两个圆的半径信息资源相同时。在之前的文章《藏在隐蔽角落的错误心脏线》中，给出了心脏线的极坐标方程表示。

此时，从极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以求出心脏线的长度为16a(具体计算过程如下)，而小圆的轨迹是半径为2a的圆，因此行走长度为4a。也就是说，在这个滚动问题中，圆心走过的长度和圆上任意一点走过的长度都是不同的。

如果你有幼儿园到初中的适龄儿童想加入数学讨论组，可以留言告诉年级。